MFF Notebook > Lineární algebra

Lineární algebra

Datové typy

název deklarace
skalár n = 2
bod A = [n1, n2, n3, …]
vektor v = AB
v = (n1, n2, n3, …)

Operátory

Nad tělesem (T, +, ·)

operátor název návratový typ zápis výpočet
skalár + skalár součet skalár n + m definován v grupě (G, +)
skalár · skalár součin skalár nm definován v pologrupě s jednotkovým prvkem (H, ·)
-skalár inverzní prvek skalár -n definován v grupě (G, +)
skalár-1 inverzní prvek skalár n-1 definován v pologrupě s jednotkovým prvkem (H, ·)
skalár - skalár rozdíl skalár n - m n + (-m)
skalár / skalár podíl skalár n / m n · m-1
skalár2 druhá mocnina skalár n2 n · n
|skalár| absolutní hodnota skalár |n| √(n2)
bod bod orientovaná úsečka vektor AB A = [a1, a2, a3]
B = [b1, b2, b3]
AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3)
skalár · vektor násobení skalárem vektor n(v1, v2, v3) (nv1, nv2, nv3)
vektor · vektor skalární součin skalár (u1, u2, u3) · (v1, v2, v3) u1v1 + u2v2 + u3v3
vektor × vektor vektorový součin vektor (u1, u2, u3) × (v1, v2, v3) (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
|vektor| velikost vektoru skalár |v| v = (a, b, c)
|v| = √(a2 + b2 + c2)

Struktury

Grupa

x · y množina s operací grupoid
x · (y · z) = (x · y) · z asociativní zákon = pologrupa
1 · x = x · 1 = 1 neutrální prvek vzhledem k · = pologrupa s jednotkovým prvkem
x · x-1 = x-1 · x = e inverzní prvek = grupa
x · y = y · x komutativní zákon = Abelova grupa

Těleso

Těleso (T, +, ·) je množina T s alespoň dvěma prvky 0 a 1 a s operacemi:

  • sčítání, přičemž (T, +) je Abelova grupa (s jednotkovým prvkem 0)
  • násobení, přičemž (T ∖ {0}, ·) je grupa (s jednotkovým prvkem 1)

a platí-li distributivní zákony mezi sčítáním a násobením:

  • a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
  • (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

Lineární prostor

x + y = y + x komutativní zákon sčítání
(x + y) + z = x + (y + z) asociativní zákon sčítání
α · (β · x) = (αβ) · x asociativní zákon násobení
α · (x + y) = α · x + α · y distributivní zákon pro sčítání prvků z L
(α + β) · x = α · x + β · x distributivní zákon pro sčítání čísel
1 · x = x vlastnost reálného čísla 1
0 · x = o existence nulového prvku (o ∈ L)

Podprostor

M je neprázdná
M ⊆ L
x + y ∈ M
α · x ∈ M

Procedury

Lineární zobrazení

A(x + y) = A(x) + A(y)
A(α · x) = α · A(x)

Creative Commons License